Verpflichtung, keine Hunde und Katzen zu halten - wirksam oder nicht?

Im vorliegenden Fall enthielt der Mietvertrag in § 3 (1) folgende Bestimmung: „Das Mitglied verpflichtet sich, keine Hunde und Katzen zu halten. Insoweit findet Nr. 6 AVB keine Anwendung“.
In Nr. 6 (1) d) AVB hieß es: „Mit Rücksicht auf die Gesamtheit der Nutzer und im Interesse einer ordnungsgemäßen Bewirtschaftung des Hauses und der Wohnung bedarf das Mitglied der vorherigen schriftlichen Zustimmung der Genossenschaft, wenn es … Tiere hält, soweit es sich nicht um übliche Kleintierhaltung handelt (z.B. Fische, Hamster, Vögel), es sei denn, in § 3 ist etwas anderes vereinbart.“

In einem Mieterfragebogen vor Einzug hatte die Mieterin angegeben, kein Haustier zu haben, zog dann aber mit Katze ein. Nach deren Versterben im Jahr 2007 schaffte sie sich einen neuen kastrierten Kater an und installierte ein Katzennetz an dem Balkon der Wohnung.

Der Vermieter forderte die Mieterin mit Schreiben vom 01.03.2012 auf, die Katzenhaltung zu beenden, verlor aber vor Gericht.